本文目錄

• 何謂正交矩陣？它有哪些性質？
• 正交矩陣的？
• 兩列什麽叫正交矩陣？
• 一個正交矩陣是什麽意思？
• 怎樣求一個矩陣的正交陣？
• 正交矩陣的性質有哪些？

何謂正交矩陣？它有哪些性質？

假如：AA'=E（E為(wei) 單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉置”。）則n階實矩陣A稱為(wei) 正交矩陣性質：

1. 方陣A正交的充要條件是A的行（列) 向量組是單位正交向量組；

2. 方陣A正交的充要條件是A的n個(ge) 行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基；

3. A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩(liang) 兩(liang) 正交且都是單位向量；

4. A的列向量組也是正交單位向量組。

正交矩陣的？

正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於(yu) 正規矩陣。盡管我們(men) 在這裏隻考慮實數矩陣，但這個(ge) 定義(yi) 可用於(yu) 其元素來自任何域的矩陣。

正交矩陣究竟是從(cong) 內(nei) 積自然引出的，所以對於(yu) 複數的矩陣這導致了回一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。

實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種複正交矩陣，這種複正交矩陣不是酉矩陣

兩列什麽叫正交矩陣？

正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為(wei) 正交的單位向量。

行向量皆為(wei) 正交的單位向量，任意兩(liang) 行正交就是兩(liang) 行點乘結果為(wei) 0，而由於(yu) 是單位向量，所以任意行點乘自己結果為(wei) 1。

對於(yu) 3x3正交矩陣，每行是一個(ge) 3維向量，兩(liang) 個(ge) 3維向量正交的幾何意義(yi) 就是這兩(liang) 個(ge) 向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為(wei) 一個(ge) 3D坐標係裏的三個(ge) 坐標軸，下麵是3＊3正交矩陣M，

x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸

單位矩陣表示的三個(ge) 坐標軸就是笛卡爾坐標係裏的x，y，z軸：

1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，空運報價(jia) 海運價(jia) 格，1，／／z軸

一個(ge) 向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義(yi) 就是把這個(ge) 向量從(cong) 當前坐標係變換到這個(ge) 矩陣所表示的坐標係裏，比如下麵的矩陣M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一個(ge) 向量（1，2，3）右乘這個(ge) 矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從(cong) 原坐標係變換到一個(ge) 新的坐標係。

新坐標係的x軸在原坐標係裏是（0，1，0），即落在原坐標係的y軸上，

新坐標係就是把原坐標係的x和y軸對調，所以這個(ge) 正交矩陣M1作用於(yu) 向量（1，2，3）後把向量的x和y分量對調了。

正交矩陣的定義(yi) “行向量和列向量皆為(wei) 正交的單位向量”帶來了另一個(ge) 好處：正交矩陣的轉置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。

一個正交矩陣是什麽意思？

一個(ge) 正交矩陣是指其轉置即是逆的矩陣，假設A是一個(ge) n階方陣，Aт是A的轉置，假如有AтA=E（單位矩陣），則稱A是正交矩陣。

正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於(yu) 正規矩陣。正交矩陣不一定是實矩陣，實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種複正交矩陣，這種複正交矩陣不是酉矩陣

怎樣求一個矩陣的正交陣？

2、這裏常用的矩陣求法為(wei) 1)這種3x3的矩陣可以按縱（橫）列利用代數餘(yu) 子式展開直接求解，即

3、通過化為(wei) 上三角或下三角（對於(yu) 該題並不適用，過程太過繁瑣）

4、由前麵我們(men) 求得特征根的值為(wei) 2和8（兩(liang) 個(ge) 值重疊了，即2，2，8）所以我們(men) 可得下圖

5、現在我們(men) 對每個(ge) 特征根帶進原式求基礎解係具體(ti) 來說就是原來的式子|進E-A|中的進應該被我們(men) 解出來的2，2，8重新帶進1）把進=2帶進可得（2E-A）X = 0即如下圖所示

6、我們(men) 開始解這個(ge) 其次方程了，我們(men) 得到的式子為(wei) -2x1-2x2-2x3=0;把x1當作未知數，x2，x3為(wei) 參數可得-x1 = x2 + x3;(x2,x3)把他們(men) 的取值分別設為(wei) （1，0）（0，1）可得x1的值為(wei) -1；所以基礎解係為(wei) X1（-1，1，0），X2（-1，0，1）65線性方程租的解法(非齊次方程和齊次方程)，將X1，X2正交標準化得到：正交標準話，即單位化，同理得到 進=8 的基礎解係，用解得的單位解組成正交矩陣（留意：應該是縱向組成矩陣）

正交矩陣的性質有哪些？

假如AAT=E（E為(wei) 單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為(wei) 正交矩陣。正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是屬於(yu) 正規矩陣。

正交矩陣的性質

1、逆也是正交陣

對於(yu) 一個(ge) 正交矩陣來說，它的逆矩陣同樣也是正交矩陣。

2、積也是正交陣

假如兩(liang) 個(ge) 矩陣均為(wei) 正交矩陣，那麽(me) 它們(men) 的乘積也是正交矩陣。

3、行列式的值為(wei) 正1或負1

任何正交矩陣的行列式是+1或1對於(yu) 置換矩陣，行列式是+1還是1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函數。

4、在複數上可以對角化

比行列式限製更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特征值的完全的集合，它們(men) 全都必須有(複數)盡對值1。